Frage zum Ursprung der elliptischen Auftriebsverteilung

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  1. #1 Konstrukteur, 02.06.2015
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    Hallo,

    ich mache mir seit einiger Zeit über die Auftriebsverteilung von Flugzeugen Gedanken. Es ist ja bekannt, dass die elliptische Verteilung sehr gut bezogen auf den induzierten Widerstand ist. Ich bin auch in der Lage das mit Prandtls Theorie nachzuweisen, allerdings frage ich mich, wie man auf diese Verteilung gekommen ist.
    Gibt es eine Herleitung mit der sich diese Auftriebsverteilung aus einem Minimum der Funktion des induzierten Widerstandsbeiwertes ableiten lässt? Ich bin habe selbst schon einige Ansätze ausgetestet, konnte bisher allerdings keinen Beweis aufstellen.
    Ich bin wirklich für jeden Rat dankbar! Auch Literaturquellen oder Verweise in welchen Versuchen diese Ergebnisse in der Historie erzielt wurden würden mich freuen!

    Vielen Dank für jede Hilfe!

    Viele Grüße
     
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  3. #2 Schorsch, 03.06.2015
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    Ist die Theorie nicht mehr eine Hilfsmittel, um das komplexe Phänomen Auftrieb ansatzweise zu erklären?
     
  4. #3 Acanthurus, 04.06.2015
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    Ja, die gibt es.
    Bin grad etwas in Zeitdruck, deshalb nur ganz kurz angerissen, nach dem Urlaub dann ggf. mehr.
    Zur Herleitung wird anstatt eines mit kartesischen Stützstellenkoordinaten arbeitenden Traglinienverfahrens eines verwendet, bei dem die Stützstellen mittels Polarkoordinaten verteilt werden. Wenn man in dieser Darstelung dann den induzierten Widerstand (ganz allgemein nach Biot_Savart) berechnet, erhält man eine Fourier-Reihe mit lauter positiven Termen. Wenn die Zirkulationsverteilung dann elliptisch gewählt wird, bleibt nur der erste (konstante) Term der Reihe stehen, alle anderen werden Null. Da die anderen aber ansonsten stets positiv sind ist das der Beweis, dass die elliptische Zirkulationsverteilung (und damit auch die Auiftriebsverteilung) das theoretische Minimum des induzierten Widerstandes (unter den Einschränkungen des Traglinienverfahrens) darstellt.

    gruß
    a.p.
     
    Darkstar und Konstrukteur gefällt das.
  5. #4 Konstrukteur, 09.06.2015
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    Vielen Dank für den Denkanstoß!

    Mit dieser Hilfe sollte ich den Beweis aufstellen können.
     
  6. #5 Acanthurus, 09.06.2015
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  8. #6 Acanthurus, 10.06.2015
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    P.S. mir ist da dann noch ein anderer Weg (vielleicht weniger ein harter Beweis, als eher eine schöne Kette von Plausibilitätsargumenten) eingefallen:
    Schritt a:
    Man kann zunächst über die Wirbelinduktion beweisen, dass eine elliptische Auftriebsverteilung zu einer über die Spannweite konstanten Abwindverteilung führt (das ist gleichbedeutend mit einem konstanten induzierten Anstellwinkel alpha_i)
    Schritt b:
    Anschließend kann man dann über einen Extremwert-Ansatz (Impulssatz-Integral) nachweisen, dass eine konstante Abwindgeschwindigkeit über eine gegebene Fläche (Spannweite x überflogene Flugstrecke) ganz allgemein ein Energieminimum für einen gewünschten Auftrieb auf dieser Fläche darstellt (etwas Mathe, aber ohne Herrn Fourier machbar).
    Schritt c:
    Mit der Argumentation, dass der "Energieaufwand" gleichbedeutend mit induziertem Widerstand x Fluggeschwindigkeit ist, lässt sich so auf ein Minimum des induzierten Widerstandes schließen.
    Ist etwas länglich, aber insbesondere Schritt b ist ein sehr nützlicher, da man ihn auch auf ganz andere Sachen anwenden kann - Strahlprofile von Raketen, Triebwerksschubdüsen, Hubschrauberrotoren, Windprofile (Windkraft) usw.

    Die im vorigen Posting dargestellte Methode ist zwar deutlich einfacher und kürzer, aber der aerodynamische Lerneffekt des Schritt b ist imho ein wichtiger. Wenn du das also für die Lehre brauchst, sollte man die Konsequenzen dieses Schrittes wenigestens mal ansprechen, selbst wenn man den Beweis über die Fourier-Reihe führt.

    gruß
    a.p.
     
  9. #7 Konstrukteur, 15.06.2015
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    Vielen Dank, den Beweis auf der Homepage konnte ich nachvollziehen.
    Ebenfalls vielen Dank für den zweiten interessanten Ansatz!
     
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