Raketengleichung

[Meteor]

Ich hab da ein kleines Problem mit der Herleitung der Raketengleichung. Und zwar speziell mit dem Bilden der Stammfunktion (Punkt 6 im Folgenden). Ich schreibe jetzt mal MEINE Herleitung auf und eventuell kann mir jemand meinen Fehler erklären:

1) Ansatz: (m - dm) * dv + c * dm = 0
2) Ausmultiplizieren und vernachlässigen von dm * dv:
--> dv * m + c * dm = 0
3) durch m dividieren: dv + c * dm/m = 0
4) nach dv auflösen: dv = - c * dm/m
5) Umschreiben: dv = -c * 1/m * dm
6) Integrieren nach dm mit Definition: f(m) = ln m
--> f´(m) = 1/m
(d.h. f(m) ist die Stammfunktion zu f´(m) )
und den Grenzen (oben) m und (unten) m0:
-----> v2 - v1 = -c * (ln m - ln m0 ) ,wobei v1 = 0

-----> v2 = -c * (ln m - ln m0)

Wieso ist das falsch und warum wird deshalb die Stammfunktion zu 1/m in allen Büchern mit ln 1/m angegeben und nicht ln m ????

 

[Togge]

f(m) = ln m --> f´(m) = 1/m ist richtig.
Du hast nur die Integrationsgrenzen vertauscht. Richtig ist m (unten) und m0 (oben, wenn m0 die Leermasse der Rakete ist)
dann erhält man

v2 - v1 = -c * (ln m0 - ln m), wobei v1 = 0

Minuszeichen in die Klammer multipliziert

v2 = c * (ln m - ln m0) oder

v2 = c * ln (m/m0)

und der alte Ziolkowski freut sich.

Sollte in deiner Rechnung m0 aber die Startmasse sein, dann ist deine Lösung natürlich richtig.

 

[Meteor]

@Togge: Erstmal Danke! Dann: Das heißt: (ln a - ln b)=ln (a/b) ? Einfach nur die Anwendung der Logarithmengesetze? Übrigens m0 sollte die Startmasse und m die Leermasse sein.

Weißt du zufällig noch wie ich jetzt auf den Weg s komme? (Wir hatten in Mathe die ln-Fkt noch nicht)