theorie

[Shadow]

Um Gottes Willen, ich bin weder Hochschulprof noch Lehrer

So, um auf die ursprüngliche Aufgabe wieder zurückzukommen, wir suchten ein Maximum. Wie hast Du das Maximum gefunden? Du hast einfach auf die Kurve geschaut und das Maximum gesehen. Wie können wir nun den Punkt mathematisch beschreiben?

Eine Möglichkeit bietet uns die Steigung, denn in dem Punkt x=5 ist die Steigung gleich 0!

Das heißt, wenn wir die erste Ableitung gleich 0 setzen, dann finden wir das Maximum.

Die erste Ableitung lautet f'(x) = 20 - 4x, die setzen wir gleich 0 und bekommen die Gleichung 0 = 20 - 4x

x = 5!

Das Maximum befindet sich bei x = 5

Das können wir nun noch um einen Schritt erweitern, denn bei größeren Funktionen kann es mehrere Punkte geben, die eine Steigung von 0 haben. Ein Minimum und ein Sattelpunkt (den finden wir z.B. bei der Funktion y(x) = x³ im Nullpunkt) haben auch eine Steigung von 0. Alle diese Punkte heißen Extrema, wollen wir feststellen, welche Art diese Punkte haben, dann bilden wir die zweite Ableitung. Also

y(x) = 20x - 2x²
y'(x) = 20 - 4x
y''(x) = -4

Setzen wir in die 2. Ableitung den Wert von x ein und erhalten einen negativen Wert, dann ist es ein Maximum. In diesem Fall ist das Ergebnis immer -4, also ein Maximum. Bei einem Minimum würde ein positiver Wert herauskommen und bei einem Sattelpunkt wäre das Ergebnis gleich 0...

 

[Shadow]

Das war nun das einfachste Beispiel überhaupt und nur der erste Schritt in einer langen Kette bis zur Differenzialgleichung. Als nächstes würde nun das Integrieren auf Dich warten, das ist mindestens doppelt so kompliziert, aber ich werde mal in den nächsten Tagen an einem Beispiel klarmachen, was da auf Dich zukommt

Vielleicht interessiert es ja auch noch andere ;)

 

[Strike]

@Shadow: Ja bitte weitermachen! (Ich habe das Gefühl das könnte sich noch über einen gewissen Zeitraum hinziehen :D )

 

[Shadow]

Ganz vergessen

Original geschrieben von florian 17
also:mit einer federwaage gemessen wiegt ein holzklotz Fg=2N
ermittle das wirkliche gewicht im vakuum, wenn der holzklotz einen inhalt von 250 cm hoch 3 hat

Tja, ich weiß ja nicht, an welchem Ort mit der Federwaage die Gewichtskraft ermittelt wurde?

Wenn wir mal von der Erdoberfläche ausgehen und von normalen Druckverhältnissen um 1 Bar und die Federwaage dafür geeicht ist, dann ergibt sich die Masse des Holzklotzes aus

m = Fg / g = 2 / 9,81 [N kg / N] = 203,9 Gramm

Das Vakuum spielt keine Rolle.

 

[Shadow]

Stellen wir mal wieder einen Bezug zur Luftfahrt her. Herr Meier von der Luftwaffe zählte ja die Flak zur Luftwaffe, weil sie in die Luft geschossen hat

OK, wir haben eine Kanone, aus diesem Rohr soll ein Geschoß abgefeuert werden. Die Geschwindigkeit, mit der die Masse aus dem Rohr kommt, möge 'v' heißen. Der Winkel zwischen der Horizontalen und dem Rohr benennen wir mal x. Bei einem Winkel von 0° würden wir also horizontal schießen und bei einem Winkel von 90° senkrecht in die Höhe.

Nun soll der Winkel bestimmt werden, bei dem das Geschoss die größte Reichweite hat. Damit das ganze nicht ausartet, gibt es ein paar Vereinfachungen, den Luftwiderstand vernachlässigen wir, die Erdkrümmung vernachlässigen wir auch und die Erdanziehungskraft sei konstant mit g.

 

[Shadow]

Die Abschußgeschwindigkeit v läßt sich in zwei Komponenten zerlegen, eine horizontale v * cos x und eine vertikale mit v * sin x

Die Entfernung (S) ist dann das Produkt aus der Flugzeit t und der horizontalen Geschwindigkeit, die ja nicht abnimmt.

S = t * v * cos x

Nun müssen wir die Flugzeit bestimmen. Dazu nutzen wir die negative Beschleunigung durch die konstante Erdanziehungskraft. Das Geschoß kommt mit der horizontalen Komponente aus dem Rohr und wird mit g * t abgebremst. Irgendwann ist die maximale Höhe erreicht und das Geschoss fliegt wieder mit der gleichen Flugzeit herunter. Für den Zeitpunkt der maximalen Höhe gilt also die Bedingung

0 = v * sin x - g * t/2 oder

t = 2 * v * sin x / g

Das setzen wir nun in die Gleichung oben ein und erhalten:

S = 2v²/g * sin x * cos x

zum Glück gibt es ein Additionstherem, das lautet
sin x * cos x = 1/2 sin 2x, das setzen wir ein und erhalten für die Aufschlagentfernung:

S = v²/g * sin 2x

 

[Shadow]

Das Maximum würde sich auch ohne Ableitung leicht findes lassen, aber ich brauche ja ein Beispiel

Also leiten wir nun S ab, die Regel der Ableitung für den Sinus ist leicht zu überprüfen, wenn Ihr einfach mal an den markanten Stellen des Sinus die Steigung bestimmt. Bei x=0 ist die Steigung 1, beim x=90° ist die Steigung 0 usw. Wenn ihr die Punkte verbindet, erhaltet Ihr einen Cosinus.

aus (sin x)' wird somit cos x

Die 2 vor dem x bleibt erhalten.

S' = v²/g * cos 2x

Das setzen wir gleich 0

0 = v²/g * cos 2x

v²/g ist ein konstanter Faktor also muß cos 2x = 0 werden.

Wann ist der Cosinus = 0 in dem Bereich von 0° bis 180°?

cos 90° = 0

2x = 90°

x = 45°

 

[florian 17]

mord beispiel

@ shadow
wow, des is ein ganz schöner batzen für ein beispiel!
ich werd mir des mal schritt für schritt zu gemüte führen..
wenn ich des ganze durchschaue melde ich mich wieder bei dir!
gruss
flo

 

[Strike]

Also das mit den 45° hab ich schpnmal irgendwo gelesen, nur hab ich da die ganzen Formeln nicht gebraucht :D

 

[Shadow]

Jungs, ich will Euch damit nur klar machen, daß die ganzen scheinbar sinnlosen Gleichungen aus dem Mathematikunterricht schon ihre Daseinsberechtigung haben.

Wenn Ihr Euch nun den Sinn und Zweck der ganzen Rechnerei immer vor Augen haltet, dann läßt es sich einfacher rechnen

Leider gelingt es den Lehrkräften nicht immer dieses zu vermitteln...

 

[Strike]

Original geschrieben von Shadow
... Leider gelingt es den Lehrkräften nicht immer dieses zu vermitteln...

Es bringt halt nicht jeder solche Beispiele

 

[Shadow]

Nachdem sich ja nun der eine oder andere User positiv geäußert hat, würde ich ja gerne mit der Integralrechnung beginnen, aber ich habe keinen Formeleditor und das alte Tex wollte ich nicht extra installieren ;)

Kennt nicht jemand einen einfachen Formeleditor?

 

[Shadow]

Integralrechnung

So, nun haben wir uns mit dem Ableiten von Funktionen beschäftigt, das nennt sich Differenzieren. Damit lassen sich wie gesehen bestimmte Eigenschaften von Funktionen berechnen, also Extremwerte wie Maximum, Minimum und Sattelpunkte oder mit der 2. Ableitung Wendepunkte. Das alles in Kombination mit der Berechnung von Nullstellen schimpft sich dann Kurvendiskussion.

Nun kommen wir zum Integrieren, das ist schon ein wenig schwieriger

Fangen wir mal ganz langsam mit einem einfachen Beispiel an, wir berechnen mal die Arbeit W, die wir benötigen, wenn wir ein Geschoß der Masse m senkrecht auf die Höhe s in den Himmel schießen.

Arbeit = Kraft x Weg oder W = F x s

 

[Shadow]

Wenn wir das mal grafisch darstellen, dann berechnen wir die Fläche. Also eine konstante Kraft mal den Weg.

 

[Shadow]

Nun hat die Gravitationskraft die 'blöde' Angewohnheit, nicht konstant zu sein, sie ist abhängig von der Entfernung zur Erde. Die Kraft nimmt ständig ab, je weiter ich mich von der Erde entferne, diese Funktion ist proportional zu 1/s².

Auf der Erdoberfläche (R) ist die Kraft 1
bei 2R ist es nur noch 1/4
bei 3R ist es nur noch 1/9
und bei 4R ist es 1/16.

Wie können wir nun die Arbeit berechnen, die wir brauchen um eine Masse auf die Höhe von 3 Erdradien also 12740 km Höhe zu schießen?

Leider sind meine zeichnerischen Fähigkeiten nicht die besten

 

[Shadow]

Mathelehrer und Professoren neigen nun dazu, einen ewig langen Beweis zu führen, ich spare mir das mal

In der Zeichnung unten habe ich mal einen Lösungsvorschlag gemacht. Wir rechnen für kleine Schritte über s jeweils die Kraft aus und addieren die schmalen Streifen dann zusammen. dadurch würden wir zumindest schon mal einen unteren Grenzwert bekommen. Das ganze läßt sich auch noch oberhalb der Funktion machen und wir erhalten einen oberen Grenzwert. Auf diese Art und Weise berechneten die programmierbaren Taschenrechner die Integrale. Je schmaler die Streifen werden, je genau wird das Ergebnis.

 

[Shadow]

Es geht aber auch anders Eben mit Hilfe der Integralrechnung.

Das Ergebnis der Gleichung im Anhang ist unsere gesuchte Fläche.

Die Arbeit W ist die Fläche unter der Funktion F, die von der Strecke s abhängig ist. Die untere Grenze ist R und die obere Grenze ist 3R.

 

[Shadow]

Für die Funktion F setzen wir nun die Konstante k ein (Werte folgen später) die mit der Strecke abnimmt, also

F = K/s²

 

[Shadow]

Im ersten Teil haben wir differenziert und für einfache Gleichungen gab es folgende Regel:

 

[Shadow]

Nun drehen wir das ganze um und erhalten:

(bitte keine Proteste, weil ich die Integrationskonstante C weggelassen habe )