Shadow
Space Cadet
Um Gottes Willen, ich bin weder Hochschulprof noch Lehrer
So, um auf die ursprüngliche Aufgabe wieder zurückzukommen, wir suchten ein Maximum. Wie hast Du das Maximum gefunden? Du hast einfach auf die Kurve geschaut und das Maximum gesehen. Wie können wir nun den Punkt mathematisch beschreiben?
Eine Möglichkeit bietet uns die Steigung, denn in dem Punkt x=5 ist die Steigung gleich 0!
Das heißt, wenn wir die erste Ableitung gleich 0 setzen, dann finden wir das Maximum.
Die erste Ableitung lautet f'(x) = 20 - 4x, die setzen wir gleich 0 und bekommen die Gleichung 0 = 20 - 4x
x = 5!
Das Maximum befindet sich bei x = 5
Das können wir nun noch um einen Schritt erweitern, denn bei größeren Funktionen kann es mehrere Punkte geben, die eine Steigung von 0 haben. Ein Minimum und ein Sattelpunkt (den finden wir z.B. bei der Funktion y(x) = x³ im Nullpunkt) haben auch eine Steigung von 0. Alle diese Punkte heißen Extrema, wollen wir feststellen, welche Art diese Punkte haben, dann bilden wir die zweite Ableitung. Also
y(x) = 20x - 2x²
y'(x) = 20 - 4x
y''(x) = -4
Setzen wir in die 2. Ableitung den Wert von x ein und erhalten einen negativen Wert, dann ist es ein Maximum. In diesem Fall ist das Ergebnis immer -4, also ein Maximum. Bei einem Minimum würde ein positiver Wert herauskommen und bei einem Sattelpunkt wäre das Ergebnis gleich 0...
So, um auf die ursprüngliche Aufgabe wieder zurückzukommen, wir suchten ein Maximum. Wie hast Du das Maximum gefunden? Du hast einfach auf die Kurve geschaut und das Maximum gesehen. Wie können wir nun den Punkt mathematisch beschreiben?
Eine Möglichkeit bietet uns die Steigung, denn in dem Punkt x=5 ist die Steigung gleich 0!
Das heißt, wenn wir die erste Ableitung gleich 0 setzen, dann finden wir das Maximum.
Die erste Ableitung lautet f'(x) = 20 - 4x, die setzen wir gleich 0 und bekommen die Gleichung 0 = 20 - 4x
x = 5!
Das Maximum befindet sich bei x = 5
Das können wir nun noch um einen Schritt erweitern, denn bei größeren Funktionen kann es mehrere Punkte geben, die eine Steigung von 0 haben. Ein Minimum und ein Sattelpunkt (den finden wir z.B. bei der Funktion y(x) = x³ im Nullpunkt) haben auch eine Steigung von 0. Alle diese Punkte heißen Extrema, wollen wir feststellen, welche Art diese Punkte haben, dann bilden wir die zweite Ableitung. Also
y(x) = 20x - 2x²
y'(x) = 20 - 4x
y''(x) = -4
Setzen wir in die 2. Ableitung den Wert von x ein und erhalten einen negativen Wert, dann ist es ein Maximum. In diesem Fall ist das Ergebnis immer -4, also ein Maximum. Bei einem Minimum würde ein positiver Wert herauskommen und bei einem Sattelpunkt wäre das Ergebnis gleich 0...